Aunque los números naturales son una “pequeña” parte de la gran cantidad de números que conocemos, entre ellos se esconden grandes curiosidades y muchos enigmas que continúan, a día de hoy, sin respuesta.
Tenemos números naturales primos y compuestos, números pequeños y números realmente grandes, números que “se tragan” a otros números, números capicúas y números que todavía se niegan a convertirse en ello… Pero entre todos los números naturales hay un tipo de números que, por sus características, reciben el nombre de perfectos. De ellos vamos a hablar hoy.
Pero antes vamos a hacer unos cálculos, que para eso estamos en un blog de matemáticas. Tomemos, por ejemplo, el número 15 y calculemos todos sus divisores (números naturales que cumplen que la división de 15 entre esos números es exacta). Son, como todos sabréis, los siguientes: 1, 3, 5 y 15. Excluyamos al propio 15 y sumemos los demás:
1 + 3 + 5 = 9
El resultado de la suma nos da 9. Tomemos ahora el número 28 y calculemos sus divisores. Son: 1, 2, 4, 7, 14 y 28. Excluimos, como antes, al propio 28 y sumamos el resto de divisores:
1 + 2 + 4 + 7 + 14 = 28
¡¡La suma da como resultado el propio número 28!! Bien, ya estamos preparados para conocer a estos números:
Un número perfecto es un número natural que cumple que es igual a la suma de sus divisores propios (todos sus divisores excepto el propio número).
Por tanto, el 15 no es un número perfecto, pero el 28 sí lo es.
¿Por qué el apelativo de “perfectos”? Pues parece ser que se llaman así por cuestiones más bien místicas: Dios creó el universo en 6 días, y el 6 es un número perfecto; la Luna tarda 28 días en dar una vuelta a la Tierra porque el 28 es perfecto…
El más pequeño de los números perfectos es el que acabamos de citar, el 6:
Divisores propios de 6: 1, 2, 3, y se tiene que 1 + 2 + 3 = 6
El siguiente es el 28, y a ellos le siguen el 496 y el 8128. Aquí tenéis los ocho primeros números perfectos conocidos:
6, 28, 496, 8128, 33550336, 8589869056, 137438691328, 2305843008139952128
Os dejo a vosotros como ejercicio comprobar que son números perfectos el 496 y los otros cinco mayores que él (si tenéis mucho tiempo libre).
El estudio de estos números perfectos está ligado al estudio de los mismos números naturales, por lo que se podría decir que han estado en la mente de los matemáticos desde que el hombre se interesó por el estudio más profundo de los números y sus propiedades. Pero, según sabemos, fue Euclides quien mostró por primera vez estudios y resultados con interés acerca de estos curiosos números.
Y es el propio Euclides el que demuestra un interesante resultado sobre números perfectos. Ahí va:
Si para algún número natural k > 0 se cumple que 2k – 1 es primo, entonces el número 2k – 1 · (2k – 1) es un número perfecto.
Por ejemplo, para k = 2 tenemos que 22 – 1 = 3 es primo. Entonces, el número que resulta de la operación 22 – 1 · (22 – 1) = 2 · 3 = 6 es, como ya hemos visto, perfecto. Y para k = 3 tenemos que 23 – 1 = 7 es primo, obteniendo así el número 23 – 1 · (23 – 1) = 4 · 7=28, que ya hemos visto que también es un número perfecto. El resto de números perfectos de la lista de los ocho primeros que aparecen unos párrafos más arriba se obtiene con k = 5, 7, 13, 17, 19 y 31.
Por cierto, ¿a alguien le suenan los números de la forma 2k – 1? Seguro que sí: son los llamados números de Mersenne, de los cuales ya hablamos en este artículo. Estos números sólo pueden ser primos si el propio k es primo, aunque hay muchos valores primos de k para los que el número de Mersenne asociado no es primo. El más pequeño de ellos es el que se obtiene para k = 11:
211 – 1 = 2047 = 23 · 89
Por tanto, podemos decir que cada primo de Mersenne genera un número perfecto. Como, a día de hoy, se conocen 49 primos de Mersenne, tenemos una lista de 49 números perfectos generados por ellos.
Como dato, es interesante comentar que el recíproco de ese teorema:
Si un número perfecto es par, entonces tiene la estructura anterior (es decir, proviene de un primo de Mersenne)
también es cierto, y fue demostrado por Leonhard Euler.
Ahora, en principio nada obliga a que todos los números perfectos que existan sean obligatoriamente generados por un primo de Mersenne mediante la expresión descrita antes, podría haber números perfectos que no tuvieran esa estructura. Pero, ¿sabéis cuántos números perfectos conocemos actualmente? Pues sí, habéis acertado: exactamente 49, los 49 que salen de los 49 primos de Mersenne conocidos. Esto significa que no conocemos ningún número perfecto que no cumpla esa estructura.
¿Cuántos números perfectos existen? Pues no lo sabemos, de hecho ni siquiera sabemos si hay infinitos números perfectos o si, por el contrario, hay una cantidad finita de ellos. Por otra parte, todos los conocidos son pares. ¿Serán pares todos los números perfectos? Pues tampoco lo sabemos, no se conoce ningún número perfecto impar ni se sabe si existen o no. Preguntas interesantes que, ya bien adentrados en el siglo XXI, continúan sin respuesta. Para que veáis que algo tan sencillo como este pequeño divertimento con números naturales puede generar enigmas extremadamente complicados de desentrañar.
Y, para finalizar, volvamos al tema de los divisores. Tomemos el número 220 y calculemos sus divisores. Son los siguientes: 1, 2, 4, 5, 10, 11, 20, 22, 44, 55, 110 y 220. Excluimos el 220 y sumamos los demás:
1 + 2 + 4 + 5 + 10 + 11 + 20 + 22 + 44 + 55 + 110 = 284
La suma no nos da 220, por lo que este número no es un número perfecto. Hagamos ahora lo mismo con el resultado obtenido, el 284. Sus divisores son los siguientes: 1, 2, 4, 71, 142 y 284. Sumamos todos excepto el 284 y obtenemos lo siguiente:
1 + 2 + 4 + 71 + 142 = 220
¡¡El número con el que comenzamos!! Estas parejas de números que cumplen que los divisores propios de uno de ellos suman el otro número se llaman números amigos. Se conocen muchas parejas de números amigos, algunas de ellas con números bastante grandes, y también han sido muchos los matemáticos que les han dedicado tiempo de estudio a lo largo de la historia. Son otro tipo de números bastante interesante sobre el que hablar e indagar, pero dejaré que seáis vosotros quienes, si estáis interesados, busquéis información sobre ellos.
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